Untersuchung der dynamischen Eigenschaften von Balken mit fraktionalen Stoffgesetzen

Publication date
2008
Document type
PhD thesis (dissertation)
Author
Damerau, Jochen
Advisor
Seifert, Hans-Jürgen
Referee
Lammering, Rolf
Granting institution
Helmut-Schmidt-Universität / Universität der Bundeswehr Hamburg
Exam date
2008-02-22
Organisational unit
DDC Class
620 Ingenieurwissenschaften
Keyword
Fraktionales Stoffgesetz
Fractional Material Law
Abstract
Bei der Beschreibung des mechanischen Verhaltens polymerer Werkstoffe erweisen sich herkömmliche rheologische Modelle oftmals als unzureichend. Besonderheiten, wie Gedächtniseffekte und deformationsgeschwindigkeitsabhängige Parameter, werden von diesen nicht berücksichtigt und führen dazu, dass ihr Einsatz auf einen kleinen Bereich um einen "Betriebspunkt", für den die Materialparameter optimiert wurden, beschränkt bleibt. Ändern sich jedoch die Versuchsbedingungen geringfügig, so müssen neue, angepasste Parameter ermittelt werden, da ansonsten die Gefahr erheblicher Abweichugen zwischen Rechnung und Messung besteht. Bei dynamischer Belastung eines mechanischen Systems kann ein Zusammenhang zwischen der Dehnungsgeschwindigkeit und der Frequenz der Schwingung hergestellt werden. Ein vielversprechender Ansatz eines universelleren Zugangs zur mechanischen Berechnung von Kunststoffen ohne Angabe der Linearität ist der Einsatz der klassischen, geschwindigkeitsproportionalen Dämpfungselemente in den rheologischen Modellen durch solche, die nichtganzzahlige Ableitungen enthalten. Schon Schäfer konnte durch Experimente an Stäben zeigen, dass dadurch signifikante Verbesserungen zu erzielen sind. Auch Schmidt erreichte mit einem solchen Ansatz gute Übereinstimmungen zwischen Formulierungen und Messergebnissen. Dafür entwickelte er, basierend auf der Eigenschaft des nachlassenden Gedächtnisses, ein Verfahren zur näherungsweisen Berechnung fraktionaler Ableitungen, welches den Rechenaufwand bei der Zeitintegration diskreter Modelle stark reduziert. Es stellt sich nun die Frage, ob sich diese Resultate auch an komplexeren kontinuumsmechanischen Systemen bestätigen lassen. Deshalb werden in dieser Arbeit eine genauere Untersuchung einfacher fraktionaler Stoffgesetze an Balken vorgenommen und Zusammenhänge mit den empirischen Beobachtungen der Werkstoffkunde bei Polymeren geklaert. --- Dazu werden zwei Versuche mit dynamischen Erregerkräften realisiert, die einen Balken ohne Einspannung und damit frei von störenden Einflüssen approximieren. Neben der theoretischen Beschreibung aller für die Modellbildung relevanten Aspekte, wobei Balken mit Bernoulli- und Timoshenko-Kinematik betrachtet werden, werden die Eigenschaften verschiedener, einfacher Stoffgesetze diskutiert und mit dem fraktionalen Kelvin-Voigt Modell verglichen. Es stellt sich heraus, dass viele in Messungen an Kunststoffen beobachtete Erscheinungen durch das fraktionale Modell am besten wiedergegeben werden können. Außerdem wird eine Möglichkeit der einfachen und für technische Anwendungen meist ausreichend genauen Lösung der Balkendifferentialgleichung mittels der diskreten Fouriertransformation angegeben. Dafür ist eine genaue Kenntnis der Theorie der fraktionalen Ableitungen nicht erforderlich. --- Im ersten Versuch wird die Übertragungsfunktion von Polymerbalken im Frequenzbereich gemessen. Diese Messungen dienen als Grundlage für die Optimierung der Werkstoffparameter der verglichenen Stoffgesetze über eine große Frequenzspanne. Schon hier zeigen sich die Vorteile des fraktionalen Modells, welches gleichzeitig die Lage der Resonanzfrequenzen und die Hüllkurve der Verstärkungsfunktion sehr gut annähern kann. --- In einem zweiten Versuch wird die Impulsantwort der Kunststoffbalken im Zeitbereich gemessen. Mit den Parametern aus dem Versuch im Frquenzbereich werden die Messdaten und die Modellberechnungen verglichen. Auch hier wird die hohe Qualität des fraktionalen Ansatzes sichtbar. Dieser liefert mit relativ geringem Aufwand Ergebnisse, die auch mit den Beobachtungen aus früheren, werkstoffkundlichen Untersuchungen konform sind.
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