Numerische Mathematik

The subject of this thesis is the efficient simulation of nonlinear optical phenomena, especially frequency mixing processes. Unlike linear optics, where the response of the material to light remains constant regardless of the light's intensity, in nonlinear optics, this response varies as a function of the light's intensity. Nonlinear optical phenomena have paved the way for significant scientific innovations, e.g. the development of novel optical sources, and have become central to a wide range of technological applications. This work is located in the emerging field of scientific machine learning and contributes to the efficient simulation of nonlinear optical phenomena by combining the rigor of finite element methods with the empirical strength of deep neural networks. Specifically, we focus on frequency mixing processes in the context of THz generation in periodically poled nonlinear crystals through Quasi-Phase-Matching. We develop a mathematical model and numerical simulation techniques in the time domain to simulate complex nonlinear optical processes without the usual slowly varying envelope approximation. The accuracy is illustrated through numerical simulations and comparisons to experimental data. The simulations elucidate the THz generation in periodically poled Lithium Niobate (PPLN), including optical harmonic generation. This thesis introduces a novel approach for solving optimal Dirichlet boundary control problems of nonlinear optics using deep learning. For computing high-resolution approximations of the solution to the nonlinear wave model, we propose higher order space-time finite element methods combined with collocation techniques, ensuring C^l-regularity in time of the global discrete solution. The simulation data trains solution operators that effectively leverage the higher regularity of the training data. The operators, represented by Fourier Neural Operators, are used as the forward solver in the optimal Dirichlet boundary control problem. This approach demonstrates an innovative integration of traditional numerical methods with data-driven techniques. The proposed algorithm is implemented and tested on high-performance computing platforms, with a focus on efficiency and scalability. We showcase its effectiveness on the problem of generating Terahertz radiation in PPLN, optimizing the parametrization of the optical input pulse to maximize the yield of 0.3THz-frequency radiation. By exploiting the periodic layering of the crystal, the networks are trained to learn propagation through one period of the layers. The recursive application of the network onto itself yields an approximation to the full problem. The results indicate a significant speedup compared to classical methods and, when compared to experimental data, demonstrate the potential to revolutionize optimization in nonlinear optics. The proposed approach of data-driven acceleration contributes to a paradigm shift towards more efficient and innovative problem-solving methods in the realm of nonlinear optics and beyond. In addition, we review a promising approach to showing the well-posedness of the nonlinear Maxwell equation and show how it can be applied in the settings we consider throughout this thesis. To this end, the nonlinear wave equations are rewritten as a first-order system in space and time. The well-posedness is ensured by a combination of the abstract theory for evolutionary problems by R. Picard and fixed point arguments.

In dieser Arbeit wird ein zeitliches Multi-Raten Konzept kombiniert mit zielorientierter Fehlerkontrolle basierend auf der Dual Weighted Residual (DWR) Methode für ein gekoppeltes Strömungs- und Transportproblem entwickelt. Das Transportproblem wird durch eine Konvektions-Diffusions-Reaktionsgleichung mit hochdynamischem Zeitverhalten repräsentiert, wohingegen das Strömungsproblem durch zähfließende, zeitabhängige Stokes Gleichungen modelliert wird. Dies erfordert den Einsatz von adaptiven Multi-Raten Methoden, um die unterschiedlichen charakteristischen Zeitskalen der beiden Teilprobleme adäquat auflösen zu können. Zudem wird das Transportproblem als konvektionsdominant angesehen und zu diesem Zweck mithilfe der Streamline Upwind Petrov Galerkin (SUPG) Methode stabilisiert. Für beide Probleme wird als zeitliches Diskretisierungsverfahren eine unstetige Galerkin Methode dG(r) mit beliebigem Polynomgrad r >= 0 und als örtliches Diskretisierungsverfahren eine stetige Galerkin Methode cG(r) mit beliebigem Polynomgrad p>= 1 verwendet. Für eine effiziente numerische Behandlung solch stabilisierter multiphysikalischer Probleme, deren Teilprobleme unterschiedliche Dynamiken hinsichtlich ihrer charakteristische Zeitskalen aufweisen, sind adaptive Gitterverfeinerungsstrategien unumgänglich. Vor diesem Hintergrund werden in dieser Arbeit a posteriori Fehlerschätzer basierend auf der DWR Methode für beide Teilprobleme hergeleitet. Diese Fehlerschätzer, gemessen in physikalisch relevanten Zielgrößen, werden in räumliche und zeitliche Anteile aufgeteilt, sodass ihre lokalisierten Repräsentanten als zellweise Fehlerindikatoren für räumliche und zeitliche Gitterverfeinerung genutzt werden können. Im Hinblick auf eine effiziente numerische Approximation gekoppelter Probleme sind adaptive Verfeinerungsstrategien umso wichtiger, will man hierbei nicht nur wissen, in welcher Region das jeweilige Gitter verfeinert werden soll, sondern auch welches der beiden Teilprobleme stärker zum Gesamtfehler beiträgt und somit mit größerer Genauigkeit zu lösen ist. Um das Zusammenspiel von Stabilisierung und Fehlerkontrolle zu analysieren, werden zunächst stationäre und zeitabhängige konvektionsdominante Transportprobleme mit fest vorgegebener Konvektion behandelt. Hierzu werden zahlreiche Vergleichsstudien im Hinblick auf unterschiedliche Ansätze für das duale Problem sowie unterschiedliche Approximationstechniken für räumliche und zeitliche Gewichtsfaktoren durchgeführt. Die Resultate dienen als Grundlage für das anschließend betrachtete gekoppelte Problem. Für die Implementierung werden sogenannte Raum-Zeit Slabs basiend auf Tensor- Produkten verwendet, welche Galerkin Diskretisierungen mit beliebeigem Polynomgrad in Raum und Zeit ermöglichen. Diese Slabs bilden eine Disketisierung des Raum-Zeit- Gebiets und werden in einem Listen-Objekt gespeichert, was ein einfaches und effizientes Hinzufügen von weiteren Slabs im Sinne einer adaptiven Gitterverfeinerung zulässt. Die Eigenschaften des vorgestellten Konzepts werden anhand von akademischen Testbeispielen, konvektionsdominanten Benchmarks sowie physikalischer Anwendungsbeispiele in zwei und drei Raumdimensionen untersucht. In numerischen Beispielen werden Konvergenzstudien sowie numerische Effiziens- und Stabilisierungsuntersuchungen des zugrundeliegenden Algorithmus durchgeführt.