Bruchhäuser, Marius Paul

This paper presents a multirate in time approach for coupled flow and transport problems combined with goal-oriented error control based on the Dual Weighted Residual (DWR) method. The focus is on the implementation of the multirate concept regarding different time scales for the underlying subproblems. Key ingredients are an arbitrary degree discontinuous Galerkin time discretization, an a posteriori error representation for the transport problem coupled with flow and the concept of space-time slabs based on tensor-product spaces. From the latter, a space-time mesh adaptation with highly economical grids is developed. The performance of the approach is studied carefully by numerical convergence examples as well as an example of physical interest for convection-dominated transport.

In dieser Arbeit wird ein zeitliches Multi-Raten Konzept kombiniert mit zielorientierter Fehlerkontrolle basierend auf der Dual Weighted Residual (DWR) Methode für ein gekoppeltes Strömungs- und Transportproblem entwickelt. Das Transportproblem wird durch eine Konvektions-Diffusions-Reaktionsgleichung mit hochdynamischem Zeitverhalten repräsentiert, wohingegen das Strömungsproblem durch zähfließende, zeitabhängige Stokes Gleichungen modelliert wird. Dies erfordert den Einsatz von adaptiven Multi-Raten Methoden, um die unterschiedlichen charakteristischen Zeitskalen der beiden Teilprobleme adäquat auflösen zu können. Zudem wird das Transportproblem als konvektionsdominant angesehen und zu diesem Zweck mithilfe der Streamline Upwind Petrov Galerkin (SUPG) Methode stabilisiert. Für beide Probleme wird als zeitliches Diskretisierungsverfahren eine unstetige Galerkin Methode dG(r) mit beliebigem Polynomgrad r >= 0 und als örtliches Diskretisierungsverfahren eine stetige Galerkin Methode cG(r) mit beliebigem Polynomgrad p>= 1 verwendet. Für eine effiziente numerische Behandlung solch stabilisierter multiphysikalischer Probleme, deren Teilprobleme unterschiedliche Dynamiken hinsichtlich ihrer charakteristische Zeitskalen aufweisen, sind adaptive Gitterverfeinerungsstrategien unumgänglich. Vor diesem Hintergrund werden in dieser Arbeit a posteriori Fehlerschätzer basierend auf der DWR Methode für beide Teilprobleme hergeleitet. Diese Fehlerschätzer, gemessen in physikalisch relevanten Zielgrößen, werden in räumliche und zeitliche Anteile aufgeteilt, sodass ihre lokalisierten Repräsentanten als zellweise Fehlerindikatoren für räumliche und zeitliche Gitterverfeinerung genutzt werden können. Im Hinblick auf eine effiziente numerische Approximation gekoppelter Probleme sind adaptive Verfeinerungsstrategien umso wichtiger, will man hierbei nicht nur wissen, in welcher Region das jeweilige Gitter verfeinert werden soll, sondern auch welches der beiden Teilprobleme stärker zum Gesamtfehler beiträgt und somit mit größerer Genauigkeit zu lösen ist. Um das Zusammenspiel von Stabilisierung und Fehlerkontrolle zu analysieren, werden zunächst stationäre und zeitabhängige konvektionsdominante Transportprobleme mit fest vorgegebener Konvektion behandelt. Hierzu werden zahlreiche Vergleichsstudien im Hinblick auf unterschiedliche Ansätze für das duale Problem sowie unterschiedliche Approximationstechniken für räumliche und zeitliche Gewichtsfaktoren durchgeführt. Die Resultate dienen als Grundlage für das anschließend betrachtete gekoppelte Problem. Für die Implementierung werden sogenannte Raum-Zeit Slabs basiend auf Tensor- Produkten verwendet, welche Galerkin Diskretisierungen mit beliebeigem Polynomgrad in Raum und Zeit ermöglichen. Diese Slabs bilden eine Disketisierung des Raum-Zeit- Gebiets und werden in einem Listen-Objekt gespeichert, was ein einfaches und effizientes Hinzufügen von weiteren Slabs im Sinne einer adaptiven Gitterverfeinerung zulässt. Die Eigenschaften des vorgestellten Konzepts werden anhand von akademischen Testbeispielen, konvektionsdominanten Benchmarks sowie physikalischer Anwendungsbeispiele in zwei und drei Raumdimensionen untersucht. In numerischen Beispielen werden Konvergenzstudien sowie numerische Effiziens- und Stabilisierungsuntersuchungen des zugrundeliegenden Algorithmus durchgeführt.