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Title: Adaptive goal-oriented error control for stabilized approximations of convection-dominated problems
Authors: Schwegler, Kristina 
Language: en
Subject (DDC): Mathematik
Subject: Konvektionsdominanz
DWR-Methode
Finite-Elemente-Methode
Stabilisierung
Issue Date: 2014
Publisher: Universitätsbibliothek der HSU/UniBwH
Document Type: Thesis
Publisher Place: Hamburg
Abstract: 
Bei der näherungsweisen Berechnung von Lösungen von konvektionsdominanten Transportproblemen entstehen üblicherweise unphysikalische Oszillationen in der Lösung, wenn man diese mit dem Standardwerkzeug der Finite-Elemente-Methode behandelt. Im Allgemeinen gibt es zwei Herangehensweisen, um der unerwünschten Abweichung der numerischen Lösung von der exakten Lösung entgegen zu wirken. Zum einen können feine Netzschrittweiten Abhilfe schaffen, zum anderen werden Stabilisierungsverfahren eingesetzt. Ein globales Verfeinern der Auflösung des Rechengitters führt allerdings zu einer wachsenden Anzahl von Freiheitsgraden im zu lösenden System. Deswegen verwendet man gewöhnlich adaptive Verfeinerungsstrategien auf der Grundlage von a-posteriori Fehlerschätzern. Üblicherweise hängen Fehlerschätzer für Konvektions-Diffusion-Reaktionsgleichungen von unbestimmten Konstanten oder sogar vom Kehrwert des sehr kleinen Diffusionskoeffizienten ab, was zu absoluter Unbrauchbarkeit der Fehlerschranken führt. Allerdings lösen auch Stabilisierungstechniken das Problem der Oszillationen nicht alleine. Darin liegt der Grund für unser Vorgehen, Stabilisierung vom Typ streamline upwind (SUPG) und shock-capturing mit Adaptivität basierend auf einer zielorientierten Fehlerdarstellung zu verbinden. Dazu leiten wir mit Hilfe der dual-gewichteten Residuen-Methode (dual weighted residual method) eine Fehlerdarstellung her, die unter Berücksichtigung der Lösung eines ebenfalls konvektionsdominanten linearen dualen Problems die residualen Terme quantitativ gewichtet. Der Fehler wird hierbei bezüglich einer Messgröße dargestellt, die der Anwender nahezu beliebig wählen kann. Darunter kann man sich Punktgrößen, aber auch jedes andere Funktional, das für die Aufgabenstellung interessant ist, vorstellen. An verschiedenen Testbeispielen für stationäre nichtlineare Transportprobleme und einer Reihe von Zielgrößen zeigen wir den Nutzen, den die bis auf vernachlässigbare Restglieder exakte Fehlerdarstellung bringt, auf. Insofern wir für instationäre Konvektions-Diffusions-Reaktionsgleichungen eine variationelle Formulierung im Raum und auch in der Zeit vorliegen haben, kann die vorgestellte Methode auf instationäre Problemstellungen erweitert werden. An den numerischen Ergebnissen für den stationären wie für den instationären Fall veranschaulichen wir, dass die zielorientierte Fehlerdarstellung die adaptive Verfeinerungsstrategie so steuern kann, dass unphysikalische Effekte vermieden oder zumindest deutlich reduziert werden im Vergleich zu Standard-Verfahren. Der Effektivitätsindex stellt ein Maß für die Qualität eines Fehlerschätzers dar. In unseren Simulationen können wir feststellen, dass der Effektivitätsindex gegen einen optimalen Wert hinsichtlich Zuverlässigkeit und Exaktheit konvergiert. Darauf begründet ist die Fehlerdarstellung in der Lage, die Gitteradaptivität so zu steuern, dass Grenzschichten aufgespürt werden und der Fehler bezüglich des Zielfunktionals abnimmt.
Organization Units (connected with the publication): Numerische Mathematik 
DOI: https://doi.org/10.24405/511
URL: http://edoc.sub.uni-hamburg.de/hsu/volltexte/2014/3086/
Advisor: Bause, Markus 
Referee: Radu, Florin Adrian
Grantor: HSU Hamburg
Type of thesis: Doctoral Thesis
Exam date: 2014-09-09
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