Gegenstand dieser Dissertation ist Galois-Korrespondenz für von Neumann Algebren und deren Zusammenspiel mit nichtkommutativer Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach einer kurzen Einführung in die Darstellungstheorie für kompakte Gruppen, insbesondere in das Theorem von Peter-Weyl, und in Operatoralgebren, einschließlich von Neumann Algebren, Gruppen von Automorphismen, semidirekte Produkte und Dekompositionstheorie, formulieren wir die ersten Schritte einer nichtkommutativen Version der Wahrscheinlichkeitstheorie und präsentieren nachtabelsche Analoge für stochastische Prozesse und Martingale. Die zentralen Objekte dieser Arbeit sind eine von Neumann Algebra M und eine kompakte Gruppe G, die auf M wirkt, für die wir in drei aufeinander aufbauenden Fällen, d.h. für innere, äußere und allgemeine Gruppen von Automorphismen, bijektive Korrespondenzen zwischen Untergruppen von G und von Neumann Unteralgebren von M angeben. Darüberhinaus identifizieren wir in unserem Formalismus nichtabelsche Martingale und beweisen für diese ein Konvergenztheorem.

The subject of this thesis is Galois correspondence for von Neumann algebras and its interplay with non-commutative probability theory. After a brief introduction to representation theory for compact groups, in particular to Peter-Weyl theorem, and to operator algebras, including von Neumann algebras, automorphism groups, crossed products and decomposition theory, we formulate first steps of a non-abelian analogues of stochastic processes and martingales. The central objects are a von Neumann algebra M and a compact group G acting on M, for which we give in three consecutive steps, i.e. for inner, spatial and general automorphism groups one-to-one correspondences between subgroups of G and von Neumann subalgebras of M. Furthermore, we identify non-abelian martingales in our approach and prove for them a convergence theorem.