In dieser Arbeit wird ein zeitliches Multi-Raten Konzept kombiniert mit zielorientierter Fehlerkontrolle basierend auf der Dual Weighted Residual (DWR) Methode für ein gekoppeltes Strömungs- und Transportproblem entwickelt. Das Transportproblem wird durch eine Konvektions-Diffusions-Reaktionsgleichung mit hochdynamischem Zeitverhalten repräsentiert, wohingegen das Strömungsproblem durch zähfließende, zeitabhängige Stokes Gleichungen modelliert wird. Dies erfordert den Einsatz von adaptiven Multi-Raten Methoden, um die unterschiedlichen charakteristischen Zeitskalen der beiden Teilprobleme adäquat auflösen zu können. Zudem wird das Transportproblem als konvektionsdominant angesehen und zu diesem Zweck mithilfe der Streamline Upwind Petrov Galerkin (SUPG) Methode stabilisiert. Für beide Probleme wird als zeitliches Diskretisierungsverfahren eine unstetige Galerkin Methode dG(r) mit beliebigem Polynomgrad r >= 0 und als örtliches Diskretisierungsverfahren eine stetige Galerkin Methode cG(r) mit beliebigem Polynomgrad p>= 1 verwendet. Für eine effiziente numerische Behandlung solch stabilisierter multiphysikalischer Probleme, deren Teilprobleme unterschiedliche Dynamiken hinsichtlich ihrer charakteristische Zeitskalen aufweisen, sind adaptive Gitterverfeinerungsstrategien unumgänglich. Vor diesem Hintergrund werden in dieser Arbeit a posteriori Fehlerschätzer basierend auf der DWR Methode für beide Teilprobleme hergeleitet. Diese Fehlerschätzer, gemessen in physikalisch relevanten Zielgrößen, werden in räumliche und zeitliche Anteile aufgeteilt, sodass ihre lokalisierten Repräsentanten als zellweise Fehlerindikatoren für räumliche und zeitliche Gitterverfeinerung genutzt werden können. Im Hinblick auf eine effiziente numerische Approximation gekoppelter Probleme sind adaptive Verfeinerungsstrategien umso wichtiger, will man hierbei nicht nur wissen, in welcher Region das jeweilige Gitter verfeinert werden soll, sondern auch welches der beiden Teilprobleme stärker zum Gesamtfehler beiträgt und somit mit größerer Genauigkeit zu lösen ist.
Um das Zusammenspiel von Stabilisierung und Fehlerkontrolle zu analysieren, werden zunächst stationäre und zeitabhängige konvektionsdominante Transportprobleme mit fest vorgegebener Konvektion behandelt. Hierzu werden zahlreiche Vergleichsstudien im Hinblick auf unterschiedliche Ansätze für das duale Problem sowie unterschiedliche Approximationstechniken für räumliche und zeitliche Gewichtsfaktoren durchgeführt. Die Resultate dienen als Grundlage für das anschließend betrachtete gekoppelte Problem.
Für die Implementierung werden sogenannte Raum-Zeit Slabs basiend auf Tensor- Produkten verwendet, welche Galerkin Diskretisierungen mit beliebeigem Polynomgrad in Raum und Zeit ermöglichen. Diese Slabs bilden eine Disketisierung des Raum-Zeit- Gebiets und werden in einem Listen-Objekt gespeichert, was ein einfaches und effizientes Hinzufügen von weiteren Slabs im Sinne einer adaptiven Gitterverfeinerung zulässt.
Die Eigenschaften des vorgestellten Konzepts werden anhand von akademischen Testbeispielen, konvektionsdominanten Benchmarks sowie physikalischer Anwendungsbeispiele in zwei und drei Raumdimensionen untersucht. In numerischen Beispielen werden Konvergenzstudien sowie numerische Effiziens- und Stabilisierungsuntersuchungen des zugrundeliegenden Algorithmus durchgeführt.

In this work, we develop and analyze a multirate in time approach for coupled flow and transport problems combined with goal-oriented error control based on the Dual Weighted Residual (DWR) method. The transport problem is represented by means of a convection-diffusion-reaction equation involving high dynamic behavior in time, whereas the flow problem is modeled by a viscous time-dependent Stokes flow problem. Thus, adaptive multirate methods have to be used in order to resolve the different characteristic time scales of the subproblems in an appropriate way. In addition, the transport problem is supposed to be convection-dominated and thus stabilized using the streamline upwind Petrov Galerkin (SUPG) method. Both subproblems are discretized using a discontinuous Galerkin method dG(r) with an arbitrary polynomial degree r >= 0 in time and a continuous Galerkin method cG(p) with an arbitrary polynomial degree p >= 1 in space. For the efficient numerical simulation of stabilized multi-physics problems whose dynamics run on different characteristic time scales, it is indisputable that adaptive mesh refinement strategies in space and time are necessary. With this in mind, we derive a posteriori error estimators based on the DWR method for both the transport as well as the Stokes flow problem. These error estimators, measured in goal quantities of physical interest, are splitted into spatial and temporal amounts such that their localized forms can be used as cell-wise error indicators for the adaptive mesh refinement process in space and time. With regard to an efficient numerical approximation of coupled problems, such adaptive strategies become even more crucial since one does not only need indicators that tell in which part of the respective domain the solutions have to be improved, but also which of the subproblems contributes more to the overall error and thus needs to be solved more accurately.
In order to analyze the interaction of stabilization and error control, we first deal with the case of stationary and time-dependent convection-dominated transport problems using fixed given convection fields. Here, several comparative studies regarding different approaches for the dual problem as well as the approximation of spatial and temporal weights, being part of the error estimators, are performed. This serves to gain knowledge and use the results with regard to the case of investigating coupled problems.
For the practical realization of the underlying approach we introduce the concept of space-time slabs that are based on tensor-product spaces which allow for arbitrary degree Galerkin discretizations in space and time. These slabs build a decomposition of the global space-time domain being stored within a so-called list object which enables for an easy and efficient involvement of additional slabs in the course of adaptive refinement.
The performance properties of the approach are studied by means of academic test cases, well-known benchmarks for convection-dominated problems as well as examples of physical relevance in two and three space dimensions. In numerical examples we study convergence, computational efficiency and stability of the underlying space-time adaptive algorithm.