Modellierung von flachen piezoelektrischen Schalen mit zuverlässigen finiten Elementen

Abstract

Die Arbeit stellt neue Möglichkeiten der Modellierung von dünnwandigen flachen Verbundschalen mit einem Sandwich-Aufbau vor, bei denen auf der Oberfläche einer passiven Mittelschicht dünne piezoelektrische Sensoren und Aktoren appliziert werden. Für die Berechnung dieser geschichteten aktiven Strukturen werden zuverlässige und robuste finite Schalenelemente entwickelt, die auch bei verzerrten Netzgeometrien keine Versteifungseffekte aufweisen und frei von Nullenergiemoden sind. Ein besonderes Augenmerk gilt des Weiteren einer physikalisch präzisen Modellbildung, zum Einen hinsichtlich des elektrischen Potenzials, zum Anderen hinsichtlich des piezoelektrischen Werkstoffverhaltens, insbesondere der auch im Kleinsignalbereich auftretenden Nichtlinearitäten. Verschiedene Varianten zur Modellverbesserung werden bei der Entwicklung von piezoelektrischen Sandwichelementen berücksichtigt und hinsichtlich ihrer Auswirkungen auf die Strukturanalyse untersucht. Im Einzelnen wird behandelt: Für Aktoren und Sensoren, die auf die passive Struktur appliziert werden, ist eine diskrete Approximation des elektrischen Potenzials in der Schalenebene durch einen konstanten Ansatz ausreichend. Die Unterschiede zu einer kontinuierlichen Beschreibung bei bilinearen Ansätzen werden aufgezeigt. Im Gegensatz zur hauptsächlich verwendeten linearen Approximation für das elektrische Potenzial in der Dickenrichtung liefern analytische Untersuchungen einen quadratischen Verlauf. Dies wird bei der Entwicklung eines Schalenelementes berücksichtigt. Für eine weitergehendere Betrachtung der Auswirkungen der vollständigen elektromechanischen Kopplung wird eine erweiterte Variationsformulierung entwickelt. Durch die Einarbeitung der Beziehung zwischen dem elektrischen Potenzial und dem elektrischen Feld als Nebenbedingung ist diese nur noch in schwacher Form zu erfüllen, so dass bei Verwendung dieses Elementes alle Beiträge zur inneren Arbeit berücksichtigt werden, die aus der elektromechanischen Kopplung resultieren. Das sich hieraus ergebende Schalenelement mit erweiterten Ansätzen wird mit denen verglichen, die einen linearen und einen quadratischen Ansatz für das elektrische Potenzial verwenden. Hierdurch wird eine Abschätzung der für die Genauigkeit des mathematischen Modells notwendigen Approximation des elektrischen Potenzials möglich. Die schon im Kleinsignalbereich bei experimentellen Untersuchungen festgestellten nichtlinearen Effekte werden unter Verwendung einer konsistenten Linearisierung in eine Elementformulierung integriert. Schließlich werden die Unterschiede zwischen der linearen und nichtlinearen Modellierung desWerkstoffverhaltens anhand numerischer Beispiele untersucht.